A可以是复矩阵的话, 是有反例的: A = [0,i;-i,0], I+A = [1,i;-i,1], 有|I+A| = 0. 限制A是实矩阵时是成立的. 关键在于反对称实矩阵的特征值都是纯虚数或0, 所以-1不是A的特征值, 0不是I+A的特征值, 即I+A可逆. 至于"反对称实矩阵的特征值都是纯虚数或0"的证明: 设复向量X是属于A的复特征值λ的特征向量, 即AX = λX. 设Y是X的复共轭, μ是λ的复共轭, 由A是实矩阵可得AY = μY. 取转置得-Y'A = Y'A' = μY', 故-μY'X = Y'AX = λY'X. 由X不是零向量, Y是X的复共轭, 可知Y'X ≠ 0, 从而μ = -λ. 即λ的复共轭是其相反数, 也即λ是纯虚数或0. 或者也可以由iA是Hermite矩阵, 特征值均为实数来证明.
匿名回答于2024-05-09 06:23:07
