A = (aij)mxn 、B = (bij)mxn；是两个同型矩阵（行数和列数分别相等），则矩阵A、B和定义为：
只有同型矩阵才能进行加法计算
运算定律
交换律：A + B = B + A
结合律：（A + B）+ C = A + (B + C)
A + O = A = O + A （O为零矩阵）
A + （-A） = O （矩阵减法的定义）
设：
则：
2、矩阵的数乘
定义
数k与矩阵A乘法定义为：
记作：kA = (kaij)mxn;
矩阵的加法和数乘运算，称为矩阵的线性运算。
运算定律
结合律：(kl)A = k(lA)
分配律：k(A+B) = kA + kB;(k + l)A = kA + lA;
1A = A;0A = O
3、乘法运算
定义
设A = (aij)mxs、B=(bij)sxn AB的乘发定义为
注意：只有当A矩阵的列数等于B矩阵的行数，矩阵乘积AB才有意义；且乘积C矩阵的行数等于A矩阵的行数、C矩阵的列数等于B矩阵的列数。
如：A是(2x3)矩阵,B是(3x4)矩阵，则AB为(2x4)矩阵，BA无意义。
运算定律
矩阵乘法不满足交换律：一般AB不等于BA，如果AB = BA，即记作A、B可交换
AB = 0 未必 A = O或者 B = O
不满足消除律，即AB = AC 未必B = C
矩阵乘法满足下面运算律：
结合律：(AB)C = A(BC)
左分配律：A(B+C) = AB+AC
右分配律：(B+C)A = BA+CA
k(AB) = (kA)B = A(kB)
设A为mxs矩阵，则 ImA = A ，AIs = A（I为单位矩阵）
AO=O OA=O
AkAl = Ak+l (Ak)l = Akl (kl皆为非负整数)
矩阵乘法中，单位矩阵与零矩阵，有类似于数字乘法1，0的作用。
4、矩阵的转置
定义
mxn的矩阵A，行列交换后得到nxm的矩阵，称为A的转置矩阵，记作A'。
运算定律
(A')' = A
(A+B)' = A' + B'
(kA') = kA'
(AB)' = B'A'
若A' = A则称A为对称矩阵；显然A为方阵。对称矩阵主对角线对称位置的元素分别相等。
若A' = -A 则称A为反对称矩阵，反对称矩阵必为方阵。且对角线上的元素全为0。
匿名回答于2024-05-14 21:10:19
