当x>0时，(x/(1+x))<1/ln(x+1)<x，
所以(1/ln(n+1))>(n/(1+n))，
而∑(n/(1+n))发散，所以∑(1/(ln(n+1)))发散。
第二个也发散，用比较法的极限形式，
[(n/(2n+1))^n比(2n+1)/n)^n]=1而且极限趋于1，
而∑(2n+1)/n)^n因通项不趋于0发散，所以∑(n/(2n+1))^n发散。
第三个收敛，方法与第四个相同。
级数1+5/2!+5^2/3!+5^3/4!...的通项是5^n/(n+1)!
用比值法，后项比前项为5^n/(n+1)!比5^(n-1)/n!
该比的极限为0，所以1+5/2!+5^2/3!+5^3/4!...收敛。
匿名回答于2024-05-23 14:42:23
1.数列收敛的定义：
如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正实数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，|an-L|<ε，那么我们称数列{an}收敛于L。
2.数列发散的定义：
如果数列{an}不满足收敛的定义，即对于任意实数L，都存在正实数ε，使得对于任意正整数N，都存在n>N，使得|an-L|≥ε，那么我们称数列{an}发散。
3.级数收敛的定义：
如果级数∑an收敛，那么我们称级数∑an收敛于S，其中S表示级数的和。级数收敛的充分必要条件是其部分和数列{Sn}收敛。
4.级数发散的定义：
如果级数∑an不满足收敛的定义，即其部分和数列{Sn}发散，那么我们称级数∑an发散。
这些公式是判断数列或级数是否收敛或发散的基本定义。在实际应用中，我们可以通过这些公式来判断一个数列或级数的性质，并进一步应用到各种问题中。
匿名回答于2024-05-18 01:13:38
