证:定理(1)二项式系数和等于2^n
∵(1+x)^n=Cn0+Cn1x+Cn2x^2+Cn3x^3+…+Cnnx^n
令x=1得
Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2^n
定理2:奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和
∵(1+x)^n=Cn0+Cn1x+Cn2x^2+Cn3x^3+…+Cnnx^n
令x=1得
Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2^n ①
令x=-1得
Cn0-Cn1x+Cn2x^2-Cn3x^3+…+Cnn(-x)^n=0 ②
由②得
Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…
所以奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和
再代入①得
Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2^(n-1)
匿名回答于2024-06-03 16:54:27
对于（1+x）^n 其中奇数项等于偶数项 可以想象它展开是 1+x+x^2+2^3+……+x^n
你令x=1 那么x^2=1……x^n=1 而与它们每项系数相等
对于（1+x）^n 再令x=-1 其中x x^3 x^5 x^7……都是负数 而 x^2 x^4……都是正数
那么奇数项是正数 偶数项是负数 但偶数项系数是正数 即奇数项系数-偶数项系数=（1-1）^n =0
匿名回答于2024-05-14 19:24:19
