(1)λ≠0。
由λ是AB的特征值，存在非零向量x使得ABx=λx。所以BA(Bx)=B(ABx)=B(λx)=λBx，且Bx≠0（否则λx=ABx=0，得λ=0，矛盾）。
这说明Bx是BA的对应于特征值λ的特征向量，特别地λ也是BA的特征值。
(2)λ=0。
此时存在非零向量x使得ABx=λx=0，所以AB不满秩，知det(AB)=0。从而det(BA)=det(AB)=0，BA不满秩，所以存在非零向量x使得BAx=0=λx。
这说明λ=0也是BA的特征值。证毕。
匿名回答于2024-05-14 21:04:25
